一、考点介绍
（1）理解相似三角形的定义与性质，了解平行截割定理．
（2）会证以下定理：①直角三角形射影定理；②圆周角定理；③圆的切线判定定理与性质定理；④相交弦定理；⑤圆内接四边形的性质定理与判定定理．⑥切割线定理．
二、高考真题
１．（2007广东卷理14）
如图1所示，圆
的直径
，
为圆周上一点，
．过
作圆的切线
，过
作
的垂线
，
分别与直线
、圆交于点
，则
，线段
的长为 ．
【解析】如右图所示，因为
，
，所以
∥
.由
知
⊿
为等边三角形，
，则
，所以
，进而
，
。连接
,于是⊿
为等边三角形，
故
=3.
【答案】
；
=3.
2.（2007海南、宁夏卷理22）如图，已知
是⊙O的切线，
为切点，
是⊙O的割线，与⊙O交于
两点，圆心
在
的内部，点
是
的中点．
（Ⅰ）证明
四点共圆；
（Ⅱ）求
的大小．
【解析】（Ⅰ）证明：连结
．
因为
与⊙O相切于点
，所以
．
因为
是⊙O的弦
的中点，所以
．
于是
．
由圆心
在
的内部，可知四边形
的对角互补，所以
四点共圆．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得
四点共圆，所以
．
由（Ⅰ）得
．
由圆心
在
的内部，可知
．
所以
．
【答案】
．
3．（2008广东卷理15）已知
是圆
的切线，切点为
，
．
是圆
的直径，
与圆
交于点
，
，则圆
的半径
．
【解析】依题意，我们知道⊿
∽⊿
,由相似三角形的性质我们有
,即
。
【答案】
4．（2008海南、宁夏卷理22）
如图，过圆
外一点
作它的一条切线，切点为
，过
点作直线
垂直直线
，垂足为
．
（Ⅰ）证明：
；
（Ⅱ）
为线段
上一点，直线
垂直直线
，且交圆
于
点．过
点的切线交直线
于
．证明：
．
【解析】（Ⅰ）证明：因为
是圆
的切线，所以
．
又因为
．在
中，由射影定理知，
．
（Ⅱ）证明：因为
是圆
的切线，
．
同（Ⅰ），有
，又
，
所以
，即
．
又
，
所以
，故
．
5．（2008江苏卷理21）
如图，设△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线交于点E，∠BAC的平分线与BC交于点D．
求证：
．
【解析】如图，因为
是圆的切线，
所以，
,
又因为
是
的平分线，
所以 
从而 
因为 
, 
所以 
,故
.
因为 
是圆的切线，所以由切割线定理知,
, 而
,所以
.
三、名校试题
考点一：相似三角形的定义与性质及圆的切线判定定理与性质定理
1.( 2008年江苏省盐城中学高三上学期第二次调研测试题)
如图，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，E为CH中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交直线AB于点G.
（Ⅰ）求证：F是BD的中点；
（Ⅱ）求证：CG是⊙O的切线．
〖解析〗（Ⅰ）证:∵CH⊥AB，DB⊥AB，∴△AEH∽AFB，△ACE∽△ADF
∴
，∵HE＝EC，∴BF＝FD ∴ F是BD中点.
（Ⅱ）∵AB是直径，∴∠ACB＝90°∴∠BCF=∠CBF=90°－∠CBA=∠CAB=∠ACO
∴∠OCF=90°，∴CG是⊙O的切线 (说明：也可证明△OCF≌△OBF(从略,仿上述评分标准给分)).
考点二：切割线定理
2.( 2008年南通四县市高三联合考试)
已知：如图，⊙O与⊙P相交于A，B两点，点P在⊙O上，⊙O的弦BC切⊙P于点B，CP及其延长线交⊙P于D，E两点，过点E作EF⊥CE交CB延长线于点F．若CD=2，CB=2
，求EF的长．
〖解析〗连PB，BC切⊙P于点B，PB⊥BC，
CD=2，CB=2
，由切割线定理得：CB2=CD·CE
CE=4，DE=2，BP=1，又∵EF⊥CE ∴△CPB∽△CFE，
得：
，EF=
考点三：圆内接四边形的性质定理与判定定理
3.(2008年南师附中高考数学模拟试卷（最后一卷）)
如图，已知AD是ΔABC的外角ÐEAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA 交ΔABC的外接圆于点F，连结FB、FC．
（1）求证：FB=FC；
（2）求证：FB2=FA·FD；
（3）若AB是ΔABC外接圆的直径，ÐEAC=120°， BC=6cm，求AD的长．
〖解析〗
（1）∵AD平分ÐEAC，∴ÐEAD=ÐDAC．
∵四边形AFBC内接于圆，∴ÐDAC=ÐFBC．
∵ÐEAD=ÐFAB=ÐFCB，∴ÐFBC=ÐFCB，∴FB=FC．
（2）∵ÐFAB=ÐFCB=ÐFBC ，ÐAFB=ÐBFD，
∴ΔFBA∽ΔFDB．∴
，∴FB2=FA·FD．
（3）∵AB是圆的直径，∴ÐACB=90°．
∵ÐEAC=120°， ∴ÐDAC=
ÐEAC=60°，ÐBAC=60°．∴ÐD=30°．
∵BC= 6， ∴AC=
． ∴AD=2AC=
cm．
考点四：相交弦定理
4.如图：PA与圆O相切于A，PCB为圆O的割线，并且不过圆心O，已知
∠BPA=
，PA=
，PC=1，则圆O的半径等于 ．
〖解析〗由圆的性质PA
=PC·PB，得，PB=12，连接OA并反向延长
交圆于点E，在直角三角形APD中可以求得PD=4,DA=2,故CD=3,
DB=8,J记圆的半径为R,由于ED·DA=CD·DB
因此，(２R－２) ·2=3·8,解得R=7
