高考对不等式的考查侧重以下几个方面

 

高考对不等式的考查侧重以下几个方面：

1．不等式性质的考查常与幂函数、指数函数和对数函数的性质的考查结合起来，一般多以选择题的形式出现，有时与充要条件的知识联系在一起．解答此类题目要求考生要有较好、较全面的基础知识，一般难度不大．

2．高考试卷中，单纯不等式的考题，一般是中档难度题，内容多涉及不等式的性质和解法，以及重要不等式的应用．解不等式的考题常以填空题和解答题的形式出现．在解答题中，含字母参数的不等式问题较多，需要对字母参数进行分类讨论，这类考题多出现在文科试卷上．

3．证明不等式近年来逐渐淡化，但若考试卷中出现不等式证明，则往往不是单独的纯不等式证明，而是与函数、三角、解析几何、数列、导数等知识综合考查，这时有可能是压轴题或倒数第二题．此类考题区分度高，综合性强，与同学们平时联系的差距较大，考生要有较强的逻辑思维能力和较高的数学素质才能取得较好的成绩．这类考题往往是理科试卷中经常出现的题型．

4．应用问题是近年数学高考命题的热点，近些年高考试题带动了一大批“以实际问题为背景，以函数模型，以重要不等式为解题工具”的应用题问世．解此类考题在合理地建立不等关系后，判别式、重要不等式是常用的解题工具． 

5．含有绝对值的不等式经常出现在高考试卷中，有关内容在教材中安排较少，考生解此类问题大多感觉困难，这与平时练习量不足有关，对此应有所加强．

6．解不等式的基本思想是转化，解题思路是利用不等式的性质及结合有关函数的性质把问题转化为一元一次不等式、一元二次不等式、含有基本初等函数的最基本不等式，然后求解．在这里着重强调的是，解不等式是在不等式有意义的前提下求出满足不等式的未知数取值的集合，在解无理不等式、对数不等式时，要注意其定义域．

二．应试对策与考题展望

1．在复习不等式的解法时，要加强等价转化思想的训练，以便快速、准确求解．在解或证明含有参数不等式的过程中，一般要对参数进行分类讨论，因此，还要加强分类讨论思想的训练，做到分类合理、不重不漏．由于不等式、函数、方程三者密不可分，相互联系、互相转化，所以，强化函数与方程思想在不等式中的应用训练十分必要．

2．高考中，对不等式的考查不是单一的，所以此类考题往往综合性强，难度也较大，应用极其广泛，诸如求最值、比较大小、函数性质(定义域、值域、单调性、有界性、最值)的研究、方程解的讨论、曲线类型和两曲线位置关系的判定等等．因此，复习时应强化理解不等式的应用，注意多知识点的相互渗透．

3．在复习不等式时，一要注意强化含参数不等式的解法与证明的训练，尤其是理科考生更应注意到这一点；二要加强以函数为载体的不等式练习，如果以函数为背景考题出现在试卷上，一定与高等数学知识及思想方法相衔接，立意新颖，抽象程度高；三要灵活处理以导数为载体的导数、不等式、函数大型综合问题，这类代数推理考题在复习时一定要倍加关注．

三．经典例题剖析

考点一：不等式的性质

不等式的性质是解不等式与证明不等式的理论根据，必须透彻理解，且要注意性质使用的条件；比较两个实数的大小，一般用作差法，有时也可用作商法，其实质上是不等式性质的应用，当然它也是不等式证明的一种方法．

例1．设实数满足下列三个条件：；；。请将按从小到大的顺序排列，并证明你的结论。

解：

 

      又因为 ，所以  .

点评：正确找到一个合理的解题程序，可大大提高解题速度．

例2．设，求的取值范围．

解：因为 ，，所以，

，，则

又因为,，所以, 故．

点评：严格依据不等式的基本性质和运算法则是正确解答此类题目的保证．

例3．(宁夏银川一中2008届高三年级第三次模拟考试)设a∈R且a≠-,比较与-a的大小．

解：-()=,

当且时,∵ ,∴． 

当时, ∵ ,∴=． 

当时,∵ ,∴.

点评：比较大小的常用方法是：作差比较与作商比较．在数的比较大小过程中，要遵循这样的规律，异中求同即先将这些数的部分因式化成相同的部分，再去比较它们剩余部分，就会很轻易啦．一般在数的比较大小中有如下几种方法：(1)作差比较法和作商比较法，前者和零比较，后者和1比较大小；(2)找中间量,往往是1，在这些数中，有的比1大，有的比1小；(3)计算所有数的值；(4)选用数形结合的方法,画出相应的图形；(5)利用函数的单调性等等．

考点二：含参数的不等式问题

含有参数的不等式问题是高考常考题型，求解过程中要利用不等式的性质将不等式进行变形转化，化为一元二次不等式等问题去解决，注意参数在转化过程中对问题的影响．

例4．(福建德化一中2008年秋季高三第二次质量监控考试)已知对一切实数都有，且当＞时，＜（1）证明为奇函数且是上的减函数；（2）若关于的不等式对一切恒成立，求m的取值范围.

（1）证明：依题意取，∴.

又取可得，∴ 

由x的任意性可知为奇函数，又设 

∴，∵，∴

∴在R上减函数．

（2）解：∵函数是奇函数，∴由得

∴即，又∵是上的减函数，∴恒成立，

当时，，故此时的最小值为，∴．

点评：在确定恒成立不等式中参数的取值范围时，需要在函数思想的指引下，灵活地进行代数变形、综合地运用多科知识，方可取得较好的效益，因此此类问题的求解当属学习过程中的难点.对于不等式恒成立问题，除了运用分类讨论的方法外，还可采用分离参数的方法，即对于一些含参数的不等式恒成立问题，如果能够将不等式进行同解变形，将不等式中的变量和参数进行剥离，即使变量和参数分别位于不等式的左、右两边，然后通过求函数的值域的方法将问题化归为解关于参数的不等式的问题．

例5．(山东省泰安市2008年高三11月教学质量检测)设命题p：函数的定义域为R；命题q：不等式对一切正实数均成立，（1）如果p是真命题，求实数a的取值范围；（2）如果命题“p或q”为真命题，且“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．

解：（1）若命题p为真，即恒成立

① 当a=0时，不合题意 ，② 当时，可得即，

（2）令，由得，的值域为，若命题q为真，则．由命题“p或q”为真且“p且q”为假，得

命题p、q一真一假，① 当p真q假时，a不存在；② 当p假q真时，．

    ．

点评：对于含参数问题，常常用分类讨论的方法．在解答有关不等式问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法．分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、各个击破的解题策略．有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置．解答分类讨论问题的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论．

例6．(广东省深圳中学2008—2009学年度高三第一学段考试)已知函数，（1）试判断函数的单调性并加以证明；（2）当恒成立时，求实数a的取值范围．

解：（1）函数的定义域为R，函数在R上是增函数，

设是R内任意两个值，并且则

，

即，是R上的增函数．

（2），，

，，

即，当

点评：一般地对不等式恒成立有下列几种情形：①f(x)≥g(k) <==> [f(x)]min≥g(k)②f(x)> g(k) <==> g(k) < [f(x)] min③f(x)≤g(k) <==> [f(x)] max≤g(k)，④f(x)≤g(k) <==> [f(x)] max < g(k)．

例7．(福建省八闽高中2008年教学协作组织联考)设，且 （e为自然对数的底数）（1）求p与q的关系；（2）若在其定义域内为单调递增函数，求p的取值范围；（3）设且，若在上至少存在一点，使得成立，求实数p的取值范围．

解：（1） 由题意得 f （e） = pe－eq－2ln e = qe－ep－2 

Þ （p－q） （e + e1） = 0. 而 e + e1≠0  ， ∴ p = q，

（2） 由 （1） 知 f （x） = px－xp－2ln x，f1（x） = p + x 2p－x2= x 2px 2－2x + p，要使 f （x） 在其定义域 （0,+¥） 内为单调增函数，只需 f1（x） 在 （0,+¥） 内满足：f1（x）≥0恒成立.即对（0,+¥） 恒成立,因此

（3）  ∵ g（x） = x2e在 [1,e] 上是减函数，∴x = e时，g（x）min = 2，x = 1 时，g（x）max = 2e即 g（x）Π[2,2e]．

①0 < p < 1 时，由x Î [1,e] Þ x－x1≥0，∴f （x） = p （x－x1）－2ln x<x－x1－2ln x，当 p = 1 时，f （x）= x－x1－2ln x在 [1,e] 递增．

∴f（x）<x－x1－2ln x≤e－e1－2ln e = e－e1－2 < 2，不合题意．

② p≥1时，由（2）知f （x）在 [1,e] 连续递增，f （1）= 0 < 2，又g（x） 在 [1,e]上是减函数．∴本命题Û f（x）max > g（x）min = 2，x Î [1,e]，

 Þ f（x）max = f（e） = p（e－e1）－2ln e > 2 Þ p > e 2－14e，

综上，p 的取值范围是 （e 2－14e,+¥）.

考点三：解不等式问题

例8．解不等式．

解：（第一步）将不等式左边分解为几个一次因式（每个因式的系数为正），得．

（第二步）如图1，在实数轴上标出每个因式为0的实根的对应点．

图1

（第三步）这四个实数根将实数轴分为五个区间．在从右到左的第一个区间内，每个因式均为正，故其积为正；在从右到左的第二个区间内，只有一个因式为负，其余因式均为正，故其积为负；在从右到左的第三个区间（1，2）内，有两个因式同时为负，其余因式为正，故其积为正；在从右到左的第四个区间（－1，1）内，有三个因式均为负，其余因式为正，故其积为负；在从右到左的第五个区间内，四个因式同时为负，故其积为正．因此，可将其解集直观地标在数轴上，即用弧线从右到左（第一个区间内弧线恒在数轴上方），将这五个区间连结起来，弧线经过数轴上方的区间就是这些因式的积大于0的解集；弧线经过数轴下方的区间就是这些因式的积小于0的解集．故原不等式的解集为．

点评：解实系数一元高次不等式，可先把最高次项的系数化为正数，并使右边为0，再通过因式分解，将左边变形，最后用数轴标根法求解集．对于分式不等式也可采类似的方法．

例9．(广东省深圳中学2008—2009学年度高三第一学段考试) 解不等式．

解：，，即，得，

所以原不等式的解集为．

   点评：本题是指数型的不等式，尽可能化同底．

例10．已知且 试解关于的不等式

解： 令 () , 则原不等式

. 

即， 

故当时，原不等式的解集是当时，原不等式的解是 .

点评：本题是利用换元法求解．换元法是指解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元．换元法是一种重要的解题方法，它可以化高次为低次、化无理式为有理式、化超越式为代数式，它不仅在中学数学中有广泛应用，而且在高等数学中也有广泛应用．复习中必须给予充分的重视，有意识、有目的地加强这方面的训练和运用．

考点四：均值不等式问题

(一)知识梳理

1．把称为a、b的算术平均数，称为a、b的几何平均数。因而，二元均值定理可以叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。如果把看作是正数a、b的等差中项，看作是正数a、b的等比中项，那么二元均值定理还可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项

2．一般的数学中的定理、公式揭示了若干量之间的本质关系，但不能定格于某一种特殊形式，因此不等式a＋b≥2ab的形式可以是a≥2ab－b，也可以是ab≤，还可以是a＋≥2b (a＞0)，≥2b－a等。解题时不仅要利用原来的形式，而且要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，以便灵活运用．

3．尽管二元均值定理的应用范围极广，推论和相关结论也很多，但其本身终究是由不等式的意义、性质推导出来的．凡是用它可以获证的不等式，均可以直接根据不等式的意义、性质证得．因此，在算术平均数与几何平均数定理的应用中，不可忽视不等式的意义、性质等概念在处理有关不等式论证方面的根本作用．

4．二元均值不等式不但可以处理两个正数的和与积结构的不等式，结合不等式的性质还可以处理两个正数的平方和、倒数和与其它变形式的结构，由公式a＋b≥2ab和≥可以得到以下几个重要结论：

① a＋b≥－2ab (当且仅当a = －b时取“=”号)；

② a＋b≥2|ab| (当且仅当| a | = | b |时取“=”号)；

③ a＋b≥－2|ab| (当且仅当a = b= 0时取“=”号)；

④ ≤≤≤ (a、b都是正数，当且仅当a = b时等号成立)．

5．二元均值不等式还能处理几个正数的平方和与和结构，倒数和与和结构，根式和与和结构及两两之积与和结构等不等式问题，但在处理这些结构型的不等式时，要注意与其它依据相结合来处理。常见结构的不等式的处理方法归纳如下：

⑴ab＋bc＋ca与a＋b＋c型

利用(a＋b＋c)= a＋b＋c＋2ab＋2bc＋2ca与a＋b＋c≥ab＋bc＋

ca相结合；

⑵a＋b＋c与a＋b＋c型

利用a＋b＋c≥ab＋bc＋ca乘以2再加上a＋b＋c即可；

⑶＋＋与a＋b＋c型

只要在⑵中每个字母开方代换即可．

6．利用均值定理可以求函数或代数式的最值问题：

⑴当a，b都为正数，且ab为定值时，有a＋b≥ (定值)，当且仅当a = b时取“=”号，此时a＋b有最小值；

⑵当a，b都为正数，且a＋b为定值时，有ab≤ (定值)，当且仅当

a = b时取“=”号，此时ab有最大值．

以上两类问题可简称为“积大和小”问题．

7．创设应用算术平均数与几何平均数定理使用的条件，合理拆分项或配凑

因式是经常用的解题技巧，而拆与凑的过程中，一要考虑定理使用的条件(两数都为正)；二要考虑必须使和或积为定值；三要考虑等号成立的条件(当且仅当a = b时取“=”号)，它具有一定的灵活性和变形技巧，高考中常被设计为一个难点．

8．二元均值定理具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和

式”的放缩功能，若所证不等式可变形成一边为和，另一边为积的形式，则可以考虑使用这一定理把问题转化．其中“一正二定三相等”在解题中具有双重功能，即对条件的制约作用，又有解题的导向作用．

(二)特别提示：

1．在使用公式a＋b≥2ab和≥时，要注意这两者成立的条件

是不相同的，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数．

2．在使用二元均值定理求最值时，必须具备三个条件：①在所求最值的代

数式中，各变数均应是正数(如不是，则进行变号转换)；②各变数的和或积必须为常数，以确保不等式一边为定值(如不是，则进行拆项或分解，务必使不等式的一端的和或积为常数)；③各变数有相等的可能(即相等时，变量字母有实数解，且在定义域内，如无，则说明拆项、分解不当，此时，应重新拆项、分解或改用其它方法，比如，已知x [2，3]，求函数y = x＋的最小值，从形式上看可以使用二元均值定理，但等号成立的条件不具备，因此，要考虑函数的单调性把问题解决)．

3．在使用均值定理证明问题时，要注意它们反复使用后，再相加相乘时字

母应满足的条件及多次使用后等号成立的条件是否一致，若不一致，则不等式中的等号不能成立．

例11．有一组数据：它们的算术平均值为10，若去掉其中最大的一个，余下的数据的算术平均值为9；若去掉其中最小的一个，余下数据的算术平均值为11．（Ⅰ）求出第一个数关于n的表达式及第n个数关于n的表达式，（Ⅱ）若都是正整数，试求第n个数的最大值，并举出满足题目要求且取到最大值的一组数据．

解：依条件：

（Ⅰ）由（1）－（2）得：  再（1）－（3）得：x1=11－n．

（Ⅱ）∵x1是正整数，∴x1=11－n≥1，，∴xn=n+9≤19．

当n=10时，．

此时，取即可，

∴当n=10时，xn的最大值是19．

点评：注意掌握均值不等式成立的条件及其变形；注意掌握“凑”的技巧，创造应用均值不等式的情境；注意掌握均值不等式等号成立的条件．

例12．(山东省聊城市2007—2008学年度第一学期高三期末统考)某投资商到一开发区投资72万元建起一座蔬菜加工厂，第一年共支出12万元，以后每年支出增加4万元，从第一年起每年蔬菜销售收入50万元.设表示前n年的纯利润总和（f（n）=前n年的总收入一前n年的总支出一投资额）．（1）该厂从第几年开始盈利？（2）若干年后，投资商为开发新项目，对该厂有两种处理方案：①年平均纯利润达到最大时，以48万元出售该厂；②纯利润总和达到最大时，以16万元出售该厂，问哪种方案更合算？

解：由题意知

（1）由，

由知，从经三年开始盈利．

（2）方案①：年平均纯利润，当且仅当n=6时等号成立．

故方案①共获利6×16+48=144（万元），此时n=6．

方案②：当n=10，

故方案②共获利128+16、144（万元）．

比较两种方案，获利都是144万元，但由于第①种方案只需6年，而第②种方案需10年，故选择第①种方案更合算．

点评：不等式的应用问题，综合性强，是高考应用命题的重点之一，不等式的应用题大部分以函数的面目出现，在解决范围问题或求最值时，均值不等式为主要工具，从而解决实际问题。解题步骤：1、先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最值的变量定为函数；2、建立相应的函数关系，把实际问题抽象为函数的最值问题；3、在定义域内，求出函数的最值；4、正确写出答案．

考点五：不等式证明问题

作差比较法的程序是:作差---变形----判断差的正负；作商比较法的程序是:作商------变形------判断商与1的大小(商式的分子分母均要为正)．

综合法证明不等式是“由因导果”，分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的方法。分析法便于寻找解题思路，而综合法便于叙述．

例13．(山东省潍坊市2008年5月高三教学质量检测) 已知各项均为正数的

等比数列{an}，公比q>1，且满足a2a4=64，a3+2是a2，a4的等差中项．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设，试比较An与Bn的大小，并证明你的结论．

解：（1）的等差中项，解得q=2或（舍去），

   （2）由（1）得，当n=1时，A1=2，B1=（1+1）2=4，A1<B1；当n=2时，A2=6，B2=（2+1）2=9，A2<B2；当n=3时，A3=14，B3=（3+1）2=16，A3<B3；当n=4时，A4=30，B4=（4+1）2=25，A4>B4；

由上可猜想，当1≤n≤3时，An<Bn；当n≥4时，An>Bn．

下面用数学归纳法给出证明：①当n=4时，已验证不等式成立．

②假设n=k（k≥4）时，Ak>Bk成立，即,

即当n=k+1时不等式也成立，由①②知，当

综上，当时，An<Bn；当

点评：本题是用数学归纳法来证明不等式的，实际上运用数学归纳法，可以证明下列问题：与自然数n有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等．

例13．(福建省八闽高中2008年教学协作组织联考)设数列的前n项和为，已知，且.（I）求数列的通项公式；（II）的大小关系，并给出证明．

解：（I）∵，∴，

∴，又∵．

（II）∵，∴，∴                        

  

                   …………… 10分

                                    

点评：本题是用放缩法证明不等式．所谓放缩法，就是针对不等式的结构特征，运用不等式及有关的性质，对所证明的不等式的一边进行放大或缩小或两边放大缩小同时兼而进行，似达到证明结果的方法。但无论是放大还是缩小都要遵循不等式传递性法则，保证放大还是缩小的连续性，不能牵强附会，须做到步步有据．比如：证a＜b，可先证a＜h1，成立，而h1＜b又是可证的，故命题得证．

利用放缩法证明不等式，既要掌握放缩法的基本方法和技巧，又须熟练不等式的性质和其他证法。做到放大或缩小恰到好处，才有利于问题的解决。现举例说明用放缩法证明不等式的几种常用方法．

例14．(江苏省盐城中学2008年高三上学期第二次调研测试题)已知a>0，b>0，c>0，abc=1，试证明：．

证明：由，所以

同理： ，   

相加得：左³．

　　点评：本题是用的基本不等式的变形来处理的．

 

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