一、填空题（48分）
1、已知复数
则
______________。
2、(理)
的展开式中第三项的系数为______________。
（文）方程
的解是______________。
3、若
,则
的值是 _______.
4、已知两点
，点P满足
，则点P的轨迹方程为__________________________。
5、李老师家藏有一套精装的四卷的《西游记》，任意排放在书架的同一层上，则卷序自左向右或自右向左恰为
的概率是_________________。
6、已知函数
的反函数的图象经过点（4，2），则
的值是____________.
7、（理）已知直线
的极坐标方程为
，则点
到直线
的距离为__________________。
(文)若满足不等式组
，则目标函数
的最大值为 ___。
8、将一张画了直角坐标系且两轴的长度单位相同的纸折叠一次，使点(2，0)与点(-2，4)重合，若点(5，8)与点(m，7)重合，则n的值为________________________.
9、不等式
对一切非零实数x总成立 , 则
的取值范围是 _______。
10、若定义在区间
内的函数
满足
，则实数
的取值
范围是___________________。
11、为说明“已知
，对于一切
那么
。”
是假命题，试举一反例为
12、若
，定义
，则
的值为____________
二、选择题（每题只有一个正确答案）（16分）
13、在下列关于直线l、m与平面α、β的命题中，真命题是 （ ）
（A）若l
β，且α⊥β，则l⊥α. （B）若l⊥β，且α∥β，则l⊥α.
（C）若α∩β=m，且l∥m，则l∥α （D）若l⊥β，且α⊥β，则l∥α.
14、等差数列{
}的前
项和记为
，若
为一个确定的常数，则下列各数中可以用这个常数表示的是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
15、已知函数f (x)（0 ≤ x ≤1）的图象的一段圆弧（如图所示），若
，则（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）前三个判断都不正确
16、已知函数
满足
对
恒成立，则（ ）
（A）函数
一定是偶函数 （B）函数
一定是偶函数
（C）函数
一定是奇函数 （D）函数
一定是奇函数
三、解答题（86分）
17、（12分）在锐角
中，
是角
所对的边，
是该三角形的面积，若
。（1）求角
的度数；（2）若
，求
的值。
18、（12分）如图为某一几何体的展开图，其中
是边长为6的正方形，
，
，
，点
、
、
、
及
、
、
、
共线.
（1） 沿图中虚线将它们折叠起来，使
、
、
、
四点重合，请画出其直观图，
（2） 试问需要几个这样的几何体才能拼成一个棱长为6的正方体
？
19、（14分）已知抛物线
,椭圆经过点
，它们在
轴上有共同焦点，椭圆的对称轴是坐标轴。
（1）求椭圆的方程；
（2）若
是椭圆上的点，设
的坐标为
（
是已知正实数），求
与
之间的最短距离。
20、（14分）在世博会后，昆明世博园作为一个旅游景点吸引四方宾客。按规定旅游收入
除上缴
的税收外，其余自负盈亏。目前世博园工作人员维持在400人，每天运
营成本20万（不含工作人员工资），旅游人数
与人均消费额
（元）的关系如下：
（1） 若游客在1000人到4000人之间，按人均消费额计算，求当天的旅游收入范围；
（2） 要使工作人员平均每人每天的工资不低于50元且维持每天正常运营（不负债），
每天的游客应不少于多少人？
21、（16分）对任意复数
，定义
。
(1) 若
，求相应的复数
；
（2）若
中的
为常数，则令
，对任意
，是否一定有常数
使得
？这样的
是否唯一？说明理由。
（3）计算
，并设立它们之间的一个等式。
（理）由此发现一个一般的等式，并证明之。
22、（18分）已知函数
，函数
的图象与
的图象关于点
中心对称。
（1）求函数
的解析式；
（2）如果
，
，试求出使
成立的
取值范围；
（3）是否存在区间
，使
对于区间内的任意实数
，只要
，且
时，都有
恒成立？
参考答案及评分标准
一、 填空题（48分）
1、4 2、（理）20（文）
3、
4、
5、
6、
7、（理）
（文）4 8、6 9、
10、
11、如
12、
二、 选择题（16分）
13、B 14、B 15、C 16、A
三、 解答题（86分）
17、（12分）（1）
，则
……………………… （6分）
（2）
………………………………………（9分）
…………………………………………………………（12分）
18、（12分）（1）它是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥
…………………………………………………………（6分）
（注：评分注意实线、虚线；垂直关系；长度比例等）
（2）由题意，
，则
，
，
∴需要3个这样的几何体可以拼成一个棱长为6的正方体
…（12分）
19、（14分）
（1）抛物线的焦点为（1，0） ……………………………………………………（2分）
设椭圆方程为
，则
∴椭圆方程为
……………………………………………（6分）
（2）设
，则
………………（8分）
① 当
时，
，即
时，
；
② 当
时，
，即
时，
；
综上，
。……………………………………（14分）
（注：也可设
解答，参照以上解答相应评分）
20、（14分）
（1）设当天的旅游收入为L，由
得
……………………………（2分）
由
，知
…………………………………………（4分）
，
得
。
即当天的旅游收入是20万到60万。……………………………………………（7分）
（2）则每天的旅游收入上缴税收后不低于220000元
由
（
）得
；
由
（
）得
；
∴
………………………………………………………………………（11分）
代入可得
∴
即每天游客应不少于1540人。……………………………………………………（14分）
21、（16分）
（1） 由
，得
则
故
（4分）
（2） 由
，得
即
∴
，所以
是不唯一的。……………………………………（10分）
（3）
，
，
；
∴
…………………………………………（12分）
（文）………………………………………………………………………………（16分）
（理）一般地，对任意复数
，有
。
证明：设
，
，
∴
。…………………………………………………（16分）
22、（18分）
（1）
………………………………………………………………（6分）
（2）由
解得
即
解得
…………………………………（12分）
（3） 由
，
又
，
当
时，
，
，
∴对于
时，
，命题成立。………………（14分）
以下用数学归纳法证明
对
，且
时，都有
成立
假设
时命题成立，即
，
那么
即
时，命题也成立。
∴存在满足条件的区间
。………………………………（18分）
