高考数学总复习：常用逻辑用语

目标认知
考试大纲要求：
　　1. 理解命题的概念；了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.
　　2. 了解命题“若p,则q”的形式及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.
　　3. 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.
　　4. 理解全称量词与存在量词的意义；能正确地对含有一个量词的命题进行否定.

重点：
　　充分条件与必要条件的判定.

难点：
　　根据命题关系或充分(或必要)条件进行逻辑推理。

知识要点梳理
知识点一：命题
1. 定义：
　　一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的语句叫做命题.
　　（1）命题由题设和结论两部分构成. 命题通常用小写英文字母表示，如p,q,r,m,n等.
　　（2）命题有真假之分，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题. 数学中的定义、公理、定理
　　　　 等都是真命题；
　　（3）命题“”的真假判定方式：
　　　　 ① 若要判断命题“”是一个真命题，需要严格的逻辑推理；有时在推导时加上语气词“一
　　　　　　定”能帮助判断。如：一定推出.
　　　　 ② 若要判断命题“”是一个假命题，只需要找到一个反例即可.
　　注意：“不一定等于3”不能判定真假，它不是命题.

2. 逻辑联结词：
　　“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词.
　　（1）不含逻辑联结词的命题叫做简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题叫做复合命题.
　　（2）复合命题的构成形式：
　　　　 ①p或q；②p且q；③非p（即命题p的否定）.
　　（3）复合命题的真假判断（利用真值表）：

　　　　 ①当p、q同时为假时，“p或q”为假，其它情况时为真，可简称为“一真必真”；
　　　　 ②当p、q同时为真时，“p且q”为真，其它情况时为假，可简称为“一假必假”。
　　　　 ③“非p”与p的真假相反.
　　注意：
　　（1）逻辑连结词“或”的理解是难点，“或”有三层含义，以“p或q”为例：一是p成立且q不成立，
　　　　 二是p不成立但q成立，三是p成立且q也成立。可以类比于集合中“或”.
　　（2）“或”、“且”联结的命题的否定形式：
　　　　 “p或q”的否定是“p且q”； “p且q” 的否定是“p或q”.
　　（3）对命题的否定只是否定命题的结论；否命题，既否定题设，又否定结论。

知识点二：四种命题
1. 四种命题的形式：
　　用p和q分别表示原命题的条件和结论，用p和q分别表示p和q的否定，则四种命题的形式为：
　　原命题：若p则q； 逆命题：若q则p；
　　否命题：若p则q； 逆否命题：若q则p.

2. 四种命题的关系
　　　　　　　　　　
　　①原命题逆否命题.它们具有相同的真假性，是命题转化的依据和途径之一.
　　②逆命题否命题，它们之间互为逆否关系，具有相同的真假性，是命题转化的另一依据和途径.
　　　除①、②之外，四种命题中其它两个命题的真伪无必然联系.

知识点三：充分条件与必要条件
1. 定义：
　　对于“若p则q”形式的命题：
　　①若pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；
　　②若pq，但qp，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件；
　　③若既有pq，又有qp，记作pq，则p 是q的充分必要条件（充要条件）.

2. 理解认知：
　　（1）在判断充分条件与必要条件时，首先要分清哪是条件，哪是结论；然后用条件推结论，再用结论
　　　　 推条件，最后进行判断.
　　（2）充要条件即等价条件，也是完成命题转化的理论依据.
　　　　 “当且仅当”.“有且仅有”.“必须且只须”.“等价于”“…反过来也成立”等均为充要条件的
　　　　 同义词语.

3. 判断命题充要条件的三种方法
　　（1）定义法：
　　（2）等价法：由于原命题与它的逆否命题等价，否命题与逆命题等价，因此，如果原命题与逆命题真
　　　　　　　　 假不好判断时，还可以转化为逆否命题与否命题来判断．即利用与；
　　　　　　　　 与；与的等价关系，对于条件或结论是不等关系
　　　　　　　　 （或否定式）的命题，一般运用等价法.
　　(3) 利用集合间的包含关系判断，比如AB可判断为AB；A=B可判断为AB，且BA，即AB.
　　如图：
　　“”“，且”是的充分不必要条件.
　　“”“”是的充分必要条件.
　　　　　　　　　　　　　　　 

知识点四：全称量词与存在量词
1. 全称量词与存在量词
　　（I）全称量词及表示：表示全体的量词称为全称量词。表示形式为“所有”、“任意”、“每一个”等，通常用符号“”表示，读作“对任意”。
　　含有全称量词的命题，叫做全称称命题。
　　全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可表示为“”，其中M为给定的集合，p(x)是关于x的命题.

　　（II）存在量词及表示：表示部分的量称为存在量词。表示形式为“有一个”，“存在一个”,“至少有一个”，“有点”,“有些”等，通常用符号“”表示，读作“存在”。
　　含有存在量词的命题，叫做特称命题。
　　特称命题“存在M中的一个x，使p(x)成立”可表示为“”，其中M为给定的集合，p(x)是关于x的命题.

2. 对含有一个量词的命题进行否定
　　（I）对含有一个量词的全称命题的否定
　　　　 全称命题p：，他的否定： 。全称命题的否定是特称命题。
　　（II）对含有一个量词的特称命题的否定 
　　　　　特称命题p：，他的否定： 。特称命题的否定是全称命题。
　　注意：
　　（1）命题的否定与命题的否命题是不同的.命题的否定只对命题的结论进行否定（否定一次），而命题
　　　　 的否命题则需要对命题的条件和结论同时进行否定（否定二次）。
　　（2）一些常见的词的否定：

规律方法指导
　　1. 解答命题及其真假判断问题时，首先要理解命题及相关概念，特别是互为逆否命题的真假性一致.
　　2. 要注意区分命题的否定与否命题.
　　3. 要注意逻辑联结词“或”“且”“非”与集合中的“并”“交”“补”是相关的，将二者相互对照
　　　 可加深认识和理解.
　　4. 处理充要条件问题时，首先必须分清条件和结论。对于充要条件的证明，必须证明充分性，又要证
　　　 明必要性；判断充要条件一般有三种方法：用集合的观点、用定义和利用命题的等价性；求充要条
　　　 件的思路是：先求必要条件，再证明这个必要条件是充分条件.
　　5. 特别重视数形结合思想与分类讨论思想的运用。