南京高考数学总复习：不等式

目标认知
考试大纲要求：
　　1．了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景。
　　2．会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型。
　　3．通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系。
　　4．会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图。
　　5．会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二
　　　 元一次不等式组；会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。

重点：
　　不等式性质的应用，一元二次不等式的解法，用二元一次不等式（组）表示平面区域，求线性目标函数在线性约束条件下的最优解。

难点：
　　不等式性质的应用，求目标函数的最优解。

知识要点梳理
知识点一：不等式的相关概念
　　1、不等式：用不等号连接两个数学解析式所成的式子叫不等式。其中，两个解析式可以是代数式，指
　　　 数式，对数式，三角式等。不等号可以是＞,＜, ≠等，而“≥”和“≤”往往分别理解成“＞”或
　　　 “=”和“＜”或“=”来展开讨论。
　　2、在两个不等式中：
　　　 若每个的左边都大于右边，或每个的左边都小于右边，则称它们为同向不等式。
　　　 若一个不等式的左边大于右边，而另一个不等式的左边小于右边，则称它们为异向不等式。
　　3、按不等式在字母允许取值范围内是否成立，可以把不等式分为：
　　　 绝对不等式：在字母允许取值范围内恒成立；我们本章中将讨论这类不等式的证明问题。
　　　 条件不等式：在字母允许取值范围内有些值使不等式成立，而另外一些值使不等式不成立；我们本
　　　 章中将讨论这类不等式的求解问题。即寻找那些使不等式成立的字母的取值。
　　　 矛盾不等式：在字母取值范围内恒不成立。

知识点二：不等式的基本性质
１．不等式的基本性质
　　（1） 
　　（2）
　　（3）
　　 　　
　　（4）

２．不等式的运算性质
　　（１）加法法则： 
　　（２）减法法则：
　　（３）乘法法则： 
　　（４）除法法则：
　　（５）乘方法则：
　　（６）开方法则：

　　3．不等式的概念和性质是进行不等式的变换，证明不等式和解不等式的依据，应正确理解和运用不等式的性质，弄清每条性质的条件与结论，注意条件与结论之间的关系。基本不等式可以在解题时直接应用。

知识点三：一元二次不等式的解法
1．一元二次不等式或的解集：
　　一元二次不等式ax2+bx+c＞0 (或＜0)的解可以联系二次函数y=ax2+bx+c的图象(a≠0)，图象在x轴上方部分对应的x值为不等式ax2+bx+c＞0的解，图象在x轴下方部分对应的x值为不等式ax2+bx+c＜0的解.而方程ax2+bx+c=0的根表示图象与x轴交点的横坐标.求解一元二次不等式的步骤，先把二次项系数化为正数，再解对应的一元二次方程，最后根据一元二次方程的根，结合不等号的方向，写出不等式的解集.
　　设相应的一元二次方程的两根为，，则不等式的解的各种情况如下表：

　　注意：若，可以转化为的情形解决.

2．一元二次不等式的步骤
　　（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数：
　　（2）计算判别式，分析不等式的解的情况： 
　　　　 ①时，求根（注意灵活运用因式分解和配方法）；
　　　　 ②时，求根；
　　　　 ③时，方程无解 
　　（3）写出解集.

知识点四：简单的线形规划
1、用二元一次不等式（组）表示平面区域
　　二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）

2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法
　　因为对在直线Ax+By+c=0同一侧的所有点(x ,y)，实数Ax+By+c的符号相同，所以只需在此直线的某一侧任取一点(x0, y0)（若原点不在直线上，则取原点(0,0)最简便）.把它的坐标代入Ax+By+c，由其值的符号即可判断二元一次不等式Ax+By+c＞0(或＜0)表示直线的哪一侧.

3、线性规划的有关概念：
　　①线性约束条件：在一个问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的
　　　一次不等式，故又称线性约束条件．
　　②线性目标函数：
　　　关于x、y的一次式z=ax+by(a，b∈R)是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目
　　　标函数．
　　③线性规划问题：
　　　一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．
　　④可行解、可行域和最优解：
　　　满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解．
　　　由所有可行解组成的集合叫做可行域．
　　　使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．

3．解线性规划问题总体步骤：
　　设变量→找约束条件，找目标函数
　　作图，找出可行域求出最优解

规律方法指导
　　1、不等式的性质是进行不等式的变换、证明不等式和解不等式的依据，应正确理解和运用不等式的性
　 　　质，弄清每条性质的条件与结论，注意条件与结论之间的关系。
　　2、注意对一元二次不等式的认知：
　 　　ax2+bx+c＞0的解集为（x1, x2）a＜0且x1, x2为一元二次方程ax2+bx+c=0的实根。
　 　　ax2+bx+c＞0的解集为（-∞, x1）∪（x2,+∞）a＞0且x1,x2为一元二次方程ax2+bx+c=0的实根。
　　3、在应用线性规划的方法时，一般具备下列条件：
　 　　①一定要能够将目标表述为最大化（极大）或最小化（极小）的要求。
　 　　②一定要有达到目标的不同方法，即必须要有不同的选择的可能性存在；
　 　　③所求的目标函数是有约束（限制）条件的；
　 　　④必须将约束条件用代数语言表示成为线性等式或线性不等式（组），并将目标函数表示成为线性
　 　　　函数。