江苏南京市2009届高三第二次调考试卷（数学理）

注意：本卷考试时间120分钟，请考生将所有题目都做在答题卷上．

参考公式：

如果事件，互斥，那么                     棱柱的体积公式

                        

如果事件，相互独立，那么                 其中表示棱柱的底面积，表示棱柱的高

                          棱锥的体积公式

在次独立重复试验中事件恰好               

发生次的概率是，               其中表示棱锥的底面积，表示棱锥的高

其中表示在一次试验中事件发生的概率       棱台的体积公式

球的表面积公式                       

球的体积公式                         其中分别表示棱台的上底、下底面积，

 其中表示球的半径                           表示棱台的高

 

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若集合，，则集合不可能是

（A） （B） （C） （D）

2．在的展开式中，常数项为

（A）－28 （B）－70  （C）70 （D）28

3．已知两条不同的直线，与三个不同的平面，，，满足， ，，，那么必有

（A）， （B），

（C）， （D），

4．在等比数列中，，，，则

（A）16             （B）27 （C）36            （D）81

5．已知均为实数，则“”是“关于一元二次不等式的解集为”的

（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件

（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件

6．在一张矩形纸片上，画有一个圆（圆心为O）和一个定点F（F在圆外）．在圆上任取一点M，将纸片折叠使M与点F重合，得到折痕CD．设直线CD与直线OM交于点P，则点P的轨迹为

（A）双曲线         （B）椭圆         （C）圆            （D）抛物线

7．若对，，使≤成立，则

（A）             （B）          （C）          （D）

8．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为，且一个内角为的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为

（A）

（B）

（C）4

（D）8

9．将三个分别标有A，B，C的小球随机地放入编号分别为1，2，3，4的四个盒子中，则第1号盒子内有球的不同放法的总数为

（A）27             （B）37            （C）64            （D）81

10．已知向量，，满足，，·．若对每一确定的,的最大值和最小值分别为, , 则对任意,的最小值是

（A）             （B）            （C）            （D）1

二．填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．

11．已知复数，则  ▲  ．

12．某路段属于限速路段，规定通过该路段的汽车时速不得超过，否则视为违规扣分．某天，有1000辆汽车经过了该路段，经过雷达测速得到这些汽车运行时速的频率分布直方图如图所示，则违规扣分的汽车大约为  ▲  辆．

13．已知等差数列的前项和为，且过点和的直线的斜率是4，若，则  ▲  ．

14．某个缺水地区为了提倡居民节约用水和控制用水浪费现象，实行了水费的分段计价，其计价的流程如图所示．其中输入为居民每月的用水量（单位：吨），输出为相应的水费（单位：元）．已知某户居民某月用水量为吨，则该户居民用水超过20吨的部分应缴纳的水费为  ▲  ．

15．已知向量，，其中为连续两次投掷骰子得到的点数，则的夹角能成为直角三角形的内角的概率是  ▲  ． 

16．若是定义在R上的奇函数，且当时，；当时，．则函数的零点有  ▲  个． 

17．已知点，如果直线经过点，那么实数的取值范围是  ▲  ．

三．解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

18．（本小题满分14分）

已知函数．

（Ⅰ）求函数的单调递增区间；

（Ⅱ）已知，且，求的值．

19．（本小题满分14分）

一袋子中有大小、质量均相同的10个小球，其中标记“开”字的小球有5个，标记“心”字的小球有3个，标记“乐”字的小球有2个．从中任意摸出1个球确定标记后放回袋中，再从中任取1个球．不断重复以上操作，最多取3次，并规定若取出“乐”字球，则停止摸球．求：

（Ⅰ）恰好摸到2个“心”字球的概率；

（Ⅱ）摸球次数的概率分布列和数学期望．

20．（本小题满分14分）

 如图，在三棱柱中，，顶点在

底面上的射影恰为B点，且．

（Ⅰ）分别求出与底面，棱BC所成的角；

（Ⅱ）在棱上确定一点P，使，并求出

二面角的平面角的余弦值．

21．（本小题满分15分）

已知椭圆的离心率为，椭圆上的点到焦点的最小距离为1．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若直线与椭圆交于两点，且（为坐标原点），于点．试求点的轨迹方程．

22．（本小题满分15分）

已知函数，，其中无理数．

（Ⅰ）若，求证：；

（Ⅱ）若在其定义域内是单调函数，求的取值范围；

（Ⅲ）对于区间（1，2）中的任意常数，是否存在使成立？若

存在，求出符合条件的一个；否则，说明理由．