第Ⅰ卷 （选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设f：x→x2是集合A到集合B的映射，如果B＝{1，3}，则A∩B等于（ ）.
A．{1} B．/ C．/或{1} D．/或{3}
2.若
为圆
的弦
的中点，则直线
的方程为（ ）.
A. 
B.
C.
D.
3．在等比数列{an}中，a5、a4、a6成等差数列，则公比q等于 （ ）
A．1或2 B．－1或－2 C．1或－2 D．－1或2
4．实数满足
则
的值为（ ）.
A．6 B．6或-6 C．10 D．不确定
5.已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，点M、N分别是在AB1、BC1上，且AM=BN，下列四个结论：
①AA1⊥MN；②A1C1//MN；③MN//平面ABCD；④MN、AC为异面直线，其中正确的结论为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．若多项式
，则
的值为（ ）
A. －2009 B. 2009 C. －2008 D. 2008
7．在100，101，102，…，999这些数中各位数字按严格递增（如“145”）或严格递减（如 “321”）顺序排列的数的个数是（ ）.
A．120 B．168 C．204 D．2163
8．设
为坐标原点，已知点
点
满足
,则
的最大值为（ ）.
不存在
9.设
.在右图所示的正方形内(包括边界),整点(即横、纵坐标均为
整数的点)的个数是（ ）
10．若
，则
的最大值是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
11．函数
的图象大致是 （ ）
A． B． C． D．
12.已知偶函数
，则方程
的解的个数为 （ ）
A．6 B．7 C．12 D．14
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题目中的横线上。）
13． 函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的部分数值如下:
|
x
|
－3
|
－2
|
－1
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
|
y
|
－80
|
－24
|
0
|
4
|
0
|
0
|
16
|
60
|
144
|
296
|
则函数y=lgf(x)的定义域为___________.
14．为了了解“预防禽流感疫苗”的使用情况，某市卫生部门对本地区9月份至11月份使用疫苗的所有养鸡场进行了调查，根据下列图表提供的信息，可以得出这三个月本地区每月注射了疫苗的鸡的数量平均为 万只．
15.已知正四面体S—ABC中，点E为SA的中点，点F为△ABC的中心，则异面直线EF、AB所
成的角为 .
16．已知椭圆
的右焦点为
，过
作与
轴垂直的直线与椭圆相交于点
，过点
的椭圆的切线
与
轴相交于点
，则点
的坐标为 .
三、解答题：（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17、（本题满分12分）
已知
，将
的图象向左平移
，再向上平移2个单位
后图象关于
对称.
（I）求实数a,并求出
取得最大值时x的集合；
（II） 求
的最小正周期，并求
在[
上的值域.
18．（本小题满分12分）
数列｛
｝的前ｎ项和为
，若
＝
.
（I）若数列｛
+c｝成等比数列，求常数c的值；
（II）求数列｛
｝的通项公式
；
（Ⅲ）数列｛
｝中是否存在三项,它们可以构成等差数列?若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在, 请说明理由．
19.（本小题满分12分）
美国次贷危机引发2008年全球金融动荡，波及中国两大股市，甲、乙、丙三人打算趁目前股市低迷之际“抄底”(在低位处买入)。若三人商定在圈定的10只股票中各自随机购买一只（假定购买时每支股票的基本情况完全相同）。
（I）求甲、乙、丙三人恰好买到同一只股票的概率；
（II）求甲、乙、丙三人中至少有两人买到同一只股票的概率；
20．（本小题满分12分）如图，在底面是菱形的四棱锥P—ABCＤ中，∠ABC=600，PA=AC=a，PB=PD=
,点E在PD上，且PE:ED=2:1.
（I）证明:PA⊥平面ABCD；
（II）求二面角E-AC-D的大小；
（Ⅲ）在棱PC上是否存在一点F，使BF//平面AEC？
证明你的结论.
21. （本小题满分12分）F1、F2是双曲线
的左右焦点，O为坐标原点，P在双曲线左支上，点M在右准线上，且满足：
。
（I）求此双曲线的离心率；
（II）若此双曲线过N（2，
），求双曲线方程；
（Ⅲ）若过N（2，
）的双曲线的虚轴端点分别为B1，B2（B1在y轴正半轴），点A、B在双曲线上，且
，求
时，直线AB的方程。
22．（本题满分14分）
已知函数f(x)＝4x3－3x2cosθ＋32，其中x∈R，θ是参数，且0≤θ≤2．
（I）当cosθ＝0时，判断函数f(x)是否有极值；
（II）要使函数f(x)的极小值大于零，求参数θ的取值范围；
（Ⅲ）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数θ，函数f(x)在区间(2a－1，a)内都是增函数，求实数a的取值范围．
2009年高考数学模拟题
参考答案
一、选择题
|
题号
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
|
答案
|
C
|
B
|
C
|
A
|
B
|
A
|
C
|
B
|
B
|
B
|
D
|
C
|
二．填空题
13. (－1,1)∪(2,+∞). 14. 90.
15. 
； 16. 
.
三．解答题
17. 解：（I）
平移以后得
，又
关于
对称 
, 
，
当且仅当
时取最大值，
所以，取得最大值时的集合为
.…………6分
（II）
的最小正周期为
；
，
，
在[
上的值域为
.…………12分
18．解：（I）当ｎ∈Ｎ
时有：
＝２
－３n， ∴
＝２
－３(n+1)，
两式相减得：
＝2
－２
－３ ∴
＝２
＋３。 ……３分
∴
＋３＝２（
＋３）。
又
＝
＝２
－３， ∴
＝３， 
＋３＝６≠０ ……４分
∴数列｛
＋３｝是首项6，公比为2的等比数列．从而ｃ＝３． ……６分
（II）由（1）知：
+3＝
， ∴
＝
－３． ………８分
（Ⅲ）假设数列｛
｝中是否存在三项
,
,
,(r<s<t),它们可以构成等差数列,
∵
<
<
, ∴只能是
＋
＝２
,
∴（
－３）＋（
－３）＝２（
－３）
即
＋
＝
．∴１＋
＝
． 
∵ｒ＜ｓ＜ｔ，ｒ、ｓ、ｔ均为正整数，∴
式左边为奇数右边为偶数，不可能成立．
因此数列｛
｝中不存在可以构成等差数列的三项． ………12分
19．（I）三人恰好买到同一只股票的概率
。 ……4分
（II）解法一：三人中恰好有两个买到同一只股票的概率
.……9分
由（I）知，三人恰好买到同一只股票的概率为
，所以三人中至少有两人买到同一只股票的概率
。 ……12分
解法二：
. ……12分
20.证明：（I）因为底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，
所以AB=AD=AC=a， 在△PAB中，
由PA2+AB2=2a2=PB2 知PA⊥AB.
同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD…………3分
（II）解法一:作EG//PA交AD于G，
由PA⊥平面ABCD. 知EG⊥平面ABCD.
作GH⊥AC于H，连结EH，则EH⊥AC，∠EHG即为二面角的平面角，设为
.
又PE : ED=2 : 1，所以
从而 
……………7分
解法二:以A为坐标原点，直线AD、AP分别为y轴、
z轴，过A点垂直平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系如图.由题设条件，相关各点的坐标分别为
所以 
设二面角E-AC-D的平面角为
，并设平面EAC的一个法向量是
得
平面ACD的一个法向量取
，
……………7分
（Ⅲ）解法一:设点F是棱PC上的点，如上述方法建立坐标系.
则
令 
, 得
解得 
即 
时，
亦即，F是PC的中点时，
、
、
共面.
又 BF
平面AEC，所以当F是棱PC的中点时，BF//平面AEC…………12分
解法二:当F是棱PC的中点时，BF//平面AEC，证明如下，
(证法一) 取PE的中点M，连结FM，则FM//CE. ①
由 
知E是MD的中点.
连结BM、BD，设BD
AC=O，则O为BD的中点.
所以 BM//OE. ②
由①、②知，平面BFM//平面AEC.
又 BF
平面BFM，所以BF//平面AEC.
(证法二)因为 
所以 
、
、
共面.又 BF
平面ABC，从而BF//平面AEC. ……12分
21．解：（I）
由
又
，
…… 4分
（II）
，其过点
…… 7分
（Ⅲ）由（2）知
、
，
、
、
得
①当
。
②当
时，
又
、
即
所以直线AB的方程为
…… 12分
22．解：（Ⅰ）当cosθ＝0时，函数f(x)＝4x3＋32在R上递增，故无极值. …3分
（Ⅱ）函数f、(x)＝12x2－6xcosθ，令f、(x)＝0，得x＝0或x＝2cosθ
由于0≤θ≤2及（1）结论，f极小(x)＝f(2cosθ)＝－4cos3θ＋32＞0，
∴0＜cosθ＜2，而0≤θ≤2，∴θ的取值范围是(3，2)。…7分
（Ⅲ）f(x)在区间(2a－1，a)是增函数，则a≤0或cosθ，
由a≤0得 a≤0，又∵θ∈(3，2)，∴要使2a－1≥2恒成立，
即要2a－1≥4，即a≥8，由2cosθ，得8≤a＜1，
∴实数a的取值范围是(－∞，0]∪[8，1) …14分
