南京2012年高考数学总复习：二项式定理

南京2012年高考数学总复习：二项式定理

目标认知
考试大纲要求：
　　1．能用计数原理证明二项式定理；
　　2．掌握二项展开式系数的性质及计算的问题；
　　3．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.

重点：
　　1．用二项式定理的通项公式解决二项展开式（或多项展开式）中某一项（或某一项的系数）的问题；
　　2．二项展开式中二项式系数的和与各项系数的和问题.

难点：
　　1．二项展开式的通项的问题；
　　2．有关多项展开转化为二项展开的问题；
　　3．二项式定理的其他应用问题.

知识要点梳理
知识点一：二项式定理
　　二项式定理：，
　　其中： 
　　①公式右边的多项式叫做的二项展开式；
　　②展开式中各项的系数叫做二项式系数；
　　③式中的第r+1项叫做二项展开式的通项，用表示；二项展开式的通项公式为.

知识点二：二项展开式的特性
　　①项数：有n+1项；
　　②次数：每一项的次数都是n次，即二项展开式为齐次式；
　　③各项组成：从左到右，字母a降幂排列，从n到0；字母b升幂排列，从0到n；
　　④系数：依次为.

知识点三：二项式系数的性质
　　①对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等
　　②单调性：二项式系数在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间取得最大值.其中，当n为
　　　偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，二项展开式中间两项的二项式
　　　系数，相等，且最大.
　　③二项式系数之和为，即
　　　其中，二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和，
　　　即

规律方法指导
　　1．对于二项式定理的构成，展开式中含的项的系数可理解为从n个相同的a+b中先取出r个b，有
　　　 种不同取法，再从剩下的n-r个括号中取出n-r个a，有种方法，据分步计数原理，共有
　　　 种不同方法数，该方法数就对应着展开式中含的项的系数.
　　2．二项展开式的各项均含有不同的组合数，若赋予a，b不同的取值，则二项式展开式演变成一个组合
　　　 恒等式.因此，揭示二项式定理的恒等式为组合恒等式的“母函数”，它是解决组合多项式问题的
　　　 原始依据.